CS与GPR联合反演目标成像

CS与GPR联合反演目标成像

(中南大学信息科学与工程学院长沙 410083)

摘 要 压缩传感(CS) 理论是在已知信号具有稀疏性或可压缩性的条件下对信号数据进行采集、编解码的新理论。压缩传感采用非自适应线性投影来保持信号的原始结构，能通过数值最优化问题准确重构原始信号. 压缩传感以远低于奈奎斯特频率进行采样，在高分辨压缩成像系统、视频图像采集系统、雷达成像以及MRI医疗成像等领域有着广阔的应用前景。本文阐述了压缩传感理论框架以及信号稀疏表示、CS 编解码模型，并进行了压缩传感与探地雷达联合反演目标成像。反演结果表明，随机孔径压缩传感成像算法比递归反向投影算法和最小二乘法所需数据量少，成像效果好，目标旁瓣小，对噪声的鲁棒性更好。

关键词 压缩传感；探地雷达；联合反演；目标成像；随机孔径成像算法

中图分类号:TN957.52

Joint Inversion of Compressive Sensing and Ground Penetrating Radar Target Imaging

ChenXing-dong LiuGao-son LeiWen-tai long-jun

(Information Science and Engineering of CSU,ChangSha 410083,China)

Abstract：Compressed Sensing(CS) theory is a novel data collection and coding theory under the condition that signal is sparse or compressible. It first employs nonadaptive linear projections that preserve the structure of the signal, and then the signal reconstruction is conducted using an optimization process from these projections. Different from the traditional signal acquisition process, compressive sensing, which is a new theory that captures and represents compressible signals at a sampling rate significantly below the Nyquist rate. It has broad applications such as high resolution compressive imaging, image and video processing systems, Radar imaging, MRI imaging, etc. In this paper, the CS framework, CS coding model are introduced, andjointinversion of CS andGPR target imaging were studied. The computer simulation results indicate that the random aperture measurements algorithm allow much fewer data, much shorter measurement time. And due to it is fully utilization of the sparse structure of interested target space, the method show much more robust and sparse image than recursive back projection(RBP)^[5] and Least Square method.

Key words：CS; GPR;JointInversion; Target Imaging; Random Aperture Measurements Algorithm

1引言

探地雷达(Ground Penetrating Radar, GPR)是一种有效的浅层隐藏目标探测技术，利用电磁波在媒质电磁特性不连续处产生的反射和散射实现非金属覆盖区域中目标的成像探测^[1]。GPR 是否可以有效应用，不仅取决于硬件系统的性能，同时取决于探地雷达成像算法和特征提取算法等方法的有效性。常用的GPR成像算法如距离偏移(Range Migration, RM)算法、逆时偏移(Reverse Time Migration, RTM)算法和标准反向投影(Standard Back Projection, SBP)算法^[2] 递归反向投影成像算法^[3]、衍射层析算法^[4]等通过标量波动方程建立目标散射场和目标函数之间的关系进而对目标散射数据进行成像处理。为得到较好的成像效果，以上算法要求雷达系统对目标散射信号进行高密度采样以获取足够的成像数据。当探测区域较大时，还需要雷达系统在大采样区域实施高孔径密度采样，这导致探地雷达系统采样数据量大、测量时间长。这些算法没有考虑地下非层状目标一般仅占探测区域很小部分这一先验知识。

压缩传感(Compressed Sensing CS)理论是近几年发展起来的一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论^[5,6]。该理论表明，当信号具有稀疏性或可压缩性时,通过采集少量的信号投影值就可实现信号的准确或近似重构。压缩传感技术的核心思想是将压缩与采样合并进行，首先采集信号的非自适应线性投影(测量值)，然后根据相应重构算法由测量值重构原始信号。压缩传感的优点在于信号的投影测量数据量远远小于传统采样方法所获的数据量, 突破了香农采样定理的瓶颈, 使得高分辨率信号的采集成为可能^[7]。

本文以压缩传感为理论基础，利用探地雷达应用中感兴趣目标区域具有稀疏特性的先验知识，采用随机孔径CS理论测量GPR信号，进行了CS与GPR联合反演目标成像。并讨论了噪声和测量矩阵对算法性能的影响

2 CS与GPR联合反演目标成像

2.1 建立目标反演空间。

首先建立GPR扫描成像目标区域。沿坐标X方向向右，Z方向（即垂直地面向下方向）向下，雷达孔径关于Z轴对称。分别在X轴(-1-1) 生成50个、Z轴(0-2)内生成50个点目标，收发天线间距2cm。

其次是设置感兴趣目标成像区域的设定。主要是横向和纵向扫描区间以及扫描间隔的问题，本仿真分别在X矢量方向扫描区间(-0.8-0.8)内生成20个点、Z矢量方向(0.2-1.8) 扫描区间内生成20个点目标。设空气中的光速，媒质介电常数设置为16。

最后设置模拟的目标。本仿真实验设置三个点目标分别位于点（Z,X）={(15,10),(13,8),(13,12)}处，此三处点目标值分别为0.5,0.25,0.25。目标值大于0则表示对应此处有目标，值越大代表目标越明显。目标值为0表示对应此处无目标。建立的模拟目标如图1所示。

图1目标反演空间

2.2 实现背景介质电磁参数和目标参数的联合反演实验^[2,8]。

GPR利用高频电磁波（-Hz），以宽频带短脉冲形式由地面发射天线定向送入地下，遇到与周围介质电阻抗有差异的地层或目标体时，部分能量被反射回地面，被接收天线接收，根据回波信号来探测地下情况。脉冲波的行程时间为(为反射体的深度，为发射天线和接收天线之间的距离，为波速)。当地下介质的波速V已知时，则可测到精确的t值(ns，)，由上式求出反射体的深度X(m)，X在剖面探测中是固定的，V(m／ns)以用宽角方式直接测量，也可根据近似算出。其中C为光速()，为地下介质的相对介电常数值。

(1) 构造GPR数据字典

脉冲式探地雷达作业时收发天线紧贴地表，考虑发射机向地下辐射一定强度的高斯脉冲和地下目标对回波信号的延时和衰减作用，孔径i 处的接收信号可表示为：

（公式1）

为表示测量孔径i 处信号从发射机经目标空间第 P个目标反射到达接收机的延迟传输时间；为目标媒质的反射系数；为信号衰减和传播损耗的衰减因子。

GPR合成孔径目标成像区域为离散的空间位置信息，通过离散化产生一系列有限的点目标集合：={ },N决定目标的分辨率。每个都是一个三维的向量,同时，定义列向量 b=[ ,…,…]^T为目标的系数向量，b 中的元素取布尔量，0代表对应区域无目标，非0时代表对应区域有目标。接收端可以通过给出的向量和=1计算公式(1)来得到接收信号。可以通过公计算得到，我们的目标是通过图像的目标空间表示重构b。衰减因子包含在b中假设是未知的，一旦知道，就可以作为实验的先验知识。而一般通过实验或者先验知识估计得到。在第i个孔径处的第j列接收信号对应目标。GPR数据字典的构造模型如图2所示。

图2 GPR数据字典构造模型

数据字典的第j列归一化处理后第n个目标值可以写成：

(公式2)

=+(0≦n≦-1),是接收的时域信号的脉冲能量值，为采样频率，为接收信号初始化时间，为初始采样数量。向量的第n个分量为 ，因此每列都是独立的范数和衰减因子无关，只和传播时间相关。当在第i个孔径扫描时GPR对中每个可能的目标点反复产生大小为×的数据字典。接收的信号可以表达成多个目标的回波数据组成数据字典列的线性组合：

=b （公式3）

当b中含有目标时，b中第j列值非0，系数为否则b系数为0。

实验仿真时在每个扫描孔径点上，对成像区域400×256中的所有点进行遍历，获得一个记录坡面，作为GPR数据字典如图3所示。

图3 GPR数据字典

（2）CS数据获取

接收机对孔径i处的信号采样，得到离散接收信号，列向量表示为：

=（公式4）

表示采样频率，为接收信号初始化时间，表示接收信号采样点数，为实现对地下目标的高分辨率成像，通常标准采样频率很高，并且需要测量所有孔径处的接收信号（i=1,2,…,256）。而我们采用随机孔径CS方法在接收信号采样时基于CS理论只需要在一系列基向量（m=1,2,…,M）上测量信号的线性投影，记录少量随机采样数据，同时在从-y 平面上400个孔径中随机抽取少量孔径进行测量，就可以以少量的孔径测量次数（20）和较少的测量数据（10）重构目标空间图像的足够信息量。CS数据获取过程可表示

(公式5)

为随机孔径i处所测量得M×1维GPR数据，为M×（M）测量矩阵，矩阵满足受限等距特性(RIP) 准则。最后通过求解-范数约束最小化问题：

s.t. (公式6)

，,得到由随机孔径i处M= 个随机向量数据准确重构目标空间系数向量，将所有随机测量孔径处得到估计值累加得到目标空间信息。

公式（6）在无噪声条件下使用等式约束有效，但是GPR信号在有噪声情况下例如，在第i个孔径位置压缩传感测量值就变成了

（公式7）

=~，是孔径i扫描点的噪声采样，假设和天线位置i处无关，一旦知道，就可以得到，我们通过=约束向量范数，为了稳定地重构稀疏系数向量b，通过求解不严格的最优化范数问题^[8]：

s.t. （公式8）

或者

s.t. （公式9）

, ,为噪声的参数，我们使用公式（8）最优化线性重构目标空间图像，在公式（6），（8），（9）中的最优化问题都是最小凸优化函数，因此可以保证最优解。实验通过使用一个magic凸优化工具包^[9，10]求解以上方程式。目前不考虑交叉验证(CV),因为在仿真过程中，噪声的参数可以预知的，当到真正的实测数据成像处理时，我们再考虑最优化参数、的选择问题。

（3）CS与GPR反演与重构结果

为了生成对密集采样的时域信号进行随机采样的矩阵。我们采用三种类型的随机测量矩阵。第一种产生均值为0，方差为1的随机矩阵；第二种产生随机生成0,1等概率随机矩阵；第三种在20×20单位矩阵中随机抽取10行作为测量矩阵，即将GPR回波信号进行随机抽取10个。

目标空间GPR发射信号的散射强度值如下图4所示。通过CS反演重构的信号散射强度值如图5所示。通过CS方法我们还准确反演了目标媒质的介电常数和目标体的反射率。

图4 GPR发射信号的散射强度值

图5 CS反演重构的信号散射强度值

随机孔径CS方法基于各孔径处得到的随机采样数据，利用magic凸优化工具包求解方程（8），并将结果累加，通过利用20个随机孔径的20×100个随机测量数据恢复目标向量，得到的目标空间图像如图6所示。

图6 反演得到的目标空间图像

为了比较成像效果，我们还分别采用了最小二乘法和递归反向投影RBP成像算法采样数据得到成像结果分别如图7,8所示。

图7 最小二乘法成像结果

图8 递归反向投影RBP成像算法成像结果

RBP算法首先计算出孔径i 处的信号从发射机经目标空间第 P个目标反射到达接收机的延时量，再将所有孔径中对应相同延时的回波幅度值叠加，利用所有400×256 个数据恢复目标向量。最小二乘法利用30个孔径中的10个随机测量数据，通过求解方程式(8)，=，并将所有孔径处计算得的b 值累加，恢复目标向量。从图6,7,8可以看出，相比最小二乘法法和RBP方法，随机孔径CS方法仅需要从400个孔径中获取20个随机孔径的回波数据，在每道回波256个数据仅取100个实现对地下目标成像。由于充分利用了成像目标空间结构的稀疏信息和利用求解凸优化问题，随机孔径CS方法利用少量的测量数据就获得了比利用所有测量数据的RBP算法和最小二乘法具有更好的聚焦效果和较低的旁瓣干扰，成像效果更好。

3 噪声和测量矩阵对算法性能的影响

为定量分析接收信号中的噪声大小和满足不同分布的随机测量矩阵对随机孔径CS算法的影响，这里定义

（公式10）

表示重建目标空间图像与真实目标空间图像之间的成像误差，(.)表示求解 -范数。

图9 给出的是探地雷达空时响应数据的信噪比SNR从 0 dB 变化到 20 dB 时，运用递归RBP成像算法和取不同数量随机测量值的随机孔径CS算法(10个随机孔径)的成像误差对比。从图中可以看出，在低信噪比和测量数量M 很少时，递归RBP投影方法由于利用所有孔径和采样点数据，成像误差较小，但稍微增大测量数量M 值，随机孔径CS算法成像误差远小于递归BP投影方法，而且随着信噪比的改善，随机孔径CS算法成像误差显著降低，而递归BP投影方法的成像误差无明显变化。

图10分别给出满足均匀分布、贝努利分布和高斯分布的3类随机测量矩阵在空时响应数据信噪比SNR为 8.6 dB,仅从各孔径采样数据中随机抽取10个的条件下，随着随机测量孔径数量增加时成像算法的成像误差曲线。从图10可见，随着随机测量孔径数量的增加，随机孔径CS算法的成像误差显著降低。当随机测量孔径数量增加到40左右，CS算法的成像误差趋于稳定。并且采用满足不同分布的随机测量矩阵时，随机孔径CS算法的成像误差的表现基本一致。

4 小结

压缩传感理论通过随机测量利用少量采样数据可以很好地重建稀疏目标信号，在信号分析与重建领域有重要研究价值。本文进行了CS与GPR联合反演，GPR成像方法在单道数据采样中应用CS理论极大地减少采样数据的同时，在 x-y测量平面上随机抽取部分孔径位置进行测量，以少量的孔径测量次数和测量数据获得重建目标空间图像的足够信息。由于充分利用了目标空间的稀疏结构信息，随机孔径CS成像算法能在利用少量测量孔径和数据的条件下相比利用所有孔径采样点信息的标准反向投影BP算法和最小二乘法的成像效果更好、目标旁瓣更小、对噪声的鲁棒性更好。

图9 噪声对成像性能的影响

图10 测量矩阵对成像性能的影响

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